Question

已知為橢圓,的左右焦點，是坐標原點，過作垂直于軸的直線交橢圓于，設 .

（1）證明： 成等比數列；

(2)若的坐標為，求橢圓的方程；

（3）在(2)的橢圓中，過的直線與橢圓交于、兩點，若，求直線的方程．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）由條件知M點的坐標為（c，y0），其中|y0|=d，知，d=b•＝，由此能證明d，b，a成等比數列；

（2）由條件知c＝，d＝1，知b2＝a?1，a2＝b2+2，由此能求出橢圓方程；

（3）設點A（x1，y1）、B（x2，y2），當l⊥x軸時，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 設直線的方程為y=k（x+），代入橢圓方程得(1+2k2)x2+4k2x+4k2?4＝0再由韋達定理能夠推導出直線的方程．

試題解析：(1)證明：由條件知M點的坐標為，其中，

， ，即成等比數列． 3分

(2)由條件知，橢圓方程為 6分

（3）設點A（x1，y1）、B（x2，y2），當l⊥x軸時，A（-，-1）、B（-，1），所以≠0． 設直線的方程為y=k（x+），代入橢圓方程得(1+2k2)x2+4k2x+4k2?4＝0所以 ①由得

整理后把①式代入解得k=，

所以直線l的方程為.

考點：數列與解析幾何的綜合.