Question

如圖，是一位騎自行車和一位騎摩托車在相距80km的兩城間行駛的函數圖象；其中騎自行車用了6小時（含途中休息1小時），騎摩托車用了2小時．
（1）有人根據這個圖象，提出關于兩人的信息如下：
①騎自行車比騎摩托車早出發3小時，晚到2小時；
②騎自行車是變速運動，騎摩托車是勻速運動；
③騎摩托車在出發1.5小時后追上騎自行車的，其中正確的序號為？
（2）設騎自行車和騎摩托車的人所對應函數分別為f（x），g（x）；求f（x），g（x）解析式，并寫出定義域；
（3）定義函數?(x)=g(

x2-2x+a

40

+3)在[3，，5]有零點，求實數a的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）根據圖象對各信息進行分析，從而得出正確答案．
（2）函數f（x）分段求解，可得分段函數；設解析式為g（x）=k₃x+b，將點（3，0），（5，80）代入，可得解析式；
（3）函數?(x)=g(

x2-2x+a

40

+3)=x²-2x+a，根據函數?(x)=g(

x2-2x+a

40

+3)在[3，，5]有零點，即可求得實數a的最大值、最小值．

解答：解：（1）信息1：由圖象可知騎自行車者在騎摩托車者出發三個小時后才出發的，并比騎摩托車者提早到達一小時
信息2：根據物理知識可以知道圖象表示的是速度曲線，騎自行車者的圖象是曲線故表示的是變速運動，騎摩托車者的圖象是直線故表示的是勻速運動．
信息3：兩圖象的交點在4.5h，并且在大于4.5h之后騎摩托車者的圖象在上方即表示追上了騎自行車者，故騎摩托車者在出發了1.5h后追上了騎自行車者．
所以信息①、②、③都是正確的，
（2）當1≤x≤3時，設解析式為y=kx，將點（3，50）代入，可得k=

50

3

，
∴y=

50

3

x；
當3＜x≤4時，y=50；
當4＜x≤5時，設解析式為y=k₁x+b，將點（4，50），（5，70）代入，可得

4k1+b=50 5k1+b=70

，∴

k1=20 b=-30

，∴y=20x-30
當5＜x≤6時，設解析式為y=k₂x+b，將點（6，80），（5，70）代入，可得

6k2+b=80 5k2+b=70

，∴

k2=10 b=20

，∴y=10x+20
∴f(x)=

50 3 x，1≤x≤3 50，3＜x≤4 20x-30，4＜x≤5 10x+20，5＜x≤6

函數的定義域為：[0，6]．
設解析式為g（x）=k₃x+b，將點（3，0），（5，80）代入，可得

3k3+b=0 5k3+b=80

，解得

k3=40 b=-120

，
∴g（x）=40x-120
函數的定義域為：[3，5]．
（3）函數?(x)=g(

x2-2x+a

40

+3)=x²-2x+a
∵函數?(x)=g(

x2-2x+a

40

+3)在[3，5]有零點
∴

?(3)=9-6+a≤0 ?(5)=25-10+a≥0

∴-5≤a≤-3
∴實數a的最大值為-3、最小值為-5．

點評：本題考查的重點是函數模型的構建，考查分類討論的數學思想，考查函數的零點，解題的關鍵是正確分類．