分析：解法一：（Ⅰ）直接利用用數學歸納法證明的證明方法證明即可；
（Ⅱ）對于n≥6，已知
(1-)n＜，利用指數函數的性質以及放縮法證
(1-)n＜()m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結論，以及驗證n=1，2，3，4，5時等式是否成立，即可求出滿足等式3
n+4
m+…+（n+2）
m=（n+3）
n的所有正整數n．
解法二：：（Ⅰ）證：當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數學歸納法證明．
（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）利用反證法證明當n≥6時，不存在滿足該等式的正整數n．驗證同解法一．
解答：解法1：（Ⅰ）證：用數學歸納法證明：
當x=0時，（1+x）
m≥1+mx；即1≥1成立，
x≠0時，證：用數學歸納法證明：
（ⅰ）當m=1時，原不等式成立；
當m=2時，左邊=1+2x+x
2，右邊=1+2x，
因為x
2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
（ⅱ）假設當m=k時，不等式成立，即（1+x）
k≥1+kx，
則當m=k+1時，∵x＞-1，
∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）
k≥1+kx兩邊同乘以1+x得
（1+x）
k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx
2≥1+（k+1）x，
所以（1+x）
k+1≥1+（k+1）x．即當m=k+1時，不等式也成立．
綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對一切正整數m，不等式都成立．
（Ⅱ）證：當n≥6，m≤n時，由（Ⅰ）得
(1-)m≥1-＞0，
于是
(1-)n≤(1-)nm=
[(1-)n]m＜()m，m=1，2，n．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當n≥6時，
(1-)n+(1-)n+…+(1-)n＜+()2+…+()n=1-＜1，
∴
()n+()n+…+()n＜1．
即3
n+4
n+…+（n+2）
n＜（n+3）
n．即當n≥6時，不存在滿足該等式的正整數n．
故只需要討論n=1，2，3，4，5的情形：
當n=1時，3≠4，等式不成立；
當n=2時，3
2+4
2=5
2，等式成立；
當n=3時，3
3+4
3+5
3=6
3，等式成立；
當n=4時，3
4+4
4+5
4+6
4為偶數，而7
4為奇數，故3
4+4
4+5
4+6
4≠7
4，等式不成立；
當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立．
綜上，所求的n只有n=2，3．
解法2：（Ⅰ）證：當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數學歸納法證明：
當x＞-1，且x≠0時，m≥2，（1+x）
m＞1+mx． ①
（ⅰ）當m=2時，左邊=1+2x+x
2，右邊=1+2x，因為x≠0，所以x
2＞0，即左邊＞右邊，不等式①成立；
（ⅱ）假設當m=k（k≥2）時，不等式①成立，即（1+x）
k＞1+kx，則當m=k+1時，
因為x＞-1，所以1+x＞0．又因為x≠0，k≥2，所以kx
2＞0．
于是在不等式（1+x）
k＞1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）
k•（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx
2＞1+（k+1）x，
所以（1+x）
k+1＞1+（k+1）x．即當m=k+1時，不等式①也成立．
綜上所述，所證不等式成立．
（Ⅱ）證：當n≥6，m≤n時，∵
(1-)n＜，
∴
[(1-)m]n＜()m，
而由（Ⅰ），
(1-)m≥1-＞0，
∴
(1-)n≤[(1-)m]n＜()m．
（Ⅲ）解：假設存在正整數n
0≥6使等式
3n0+4n0+…+(n0+2)n0=(n0+3)n0成立，
即有
()n0+()n0+…+()n0=1． ②
又由（Ⅱ）可得
()n0+()n0+…+()n0=
(1-)n0+(1-)n0+…+(1-)n0＜()n0+()n0-1+…+=1-＜1，與②式矛盾．
故當n≥6時，不存在滿足該等式的正整數n．
下同解法1．
，求證
，m=1,1,2…，n；
，求證
，m=1，2，3，…，n；
，求證
，m=1，2…，n；