Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，己知圓C經(jīng)過點(，)，(，)，且與直線相切.

（1）求圓C的方程；

（2）設P是直線l：x＝4上的任意一點，過點P作圓C的切線，切點為M，N.

①求證：直線MN過定點（記為Q）；

②設直線PQ與圓C交于點A，B，與y軸交于點D.若，，求＋的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）設圓C的方程為，由此得，解出即可；

（2）①設P(4，)，由題意P，M，N，C在以PC為直徑的圓上，兩圓方程作差可得直線MN的方程為，由直線系方程即可求出定點；

②由①得Q(1，0)，設直線PQ的方程為，則D(0，﹣k)，設A(，)，B(，)，聯(lián)立直線與圓的方程消元，由韋達定理可得，根據(jù)題意可得到，代入后化簡求值即可．

解：（1）設圓C的方程為，

由題意可得，，

解得，，，

∴圓C的方程為；

（2）①設P(4，)，

∵PM，PN是圓C的兩條切線，

∴PM⊥MC，PN⊥NC，

∴P，M，N，C在以PC為直徑的圓上，

∴該圓上任意一點滿足，

∵，，

∴，即，

∴該圓方程為，

由作差可得公共弦所在直線MN的方程為，

∴直線MN過定點(1，0)；

②由①可得Q(1，0)，設直線PQ的方程為，則D(0，﹣k)，

設A(，)，B(，)，

由得，

∴，

由，，得，即，

∴．