Question

由一個小區歷年市場行情調查得知，某一種蔬菜在一年12個月內每月銷售量P（t）（單位：噸）與上市時間t（單位：月）的關系大致如圖（1）所示的折線ABCDE表示，銷售價格Q（t）（單位：元/千克）與上市時間t（單位：月）的大致關系如圖（2）所示的拋物線段GHR表示（H為頂點）．
（Ⅰ）請分別寫出P（t），Q（t）關于t的函數關系式，并求出在這一年內3到6月份的銷售額最大的月份？
（Ⅱ）圖（1）中由四條線段所在直線 圍成的平面區域為M，動點P（x，y）在M內（包括邊界），求z=x-5y的最大值；
（Ⅲ） 由（Ⅱ），將動點P（x，y）所滿足的條件及所求的最大值由加法運算類比到乘法運算（如1≤2x-3y≤3類比為1≤

x2

y3

≤3），試列出P（x，y）所滿足的條件，并求出相應的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據函數圖象寫出函數P（t），Q（t）的解析式，則銷售額為P（t）•Q（t），然后利用導數研究函數的單調性，從而求出最值；
（II）將目標函數z=x-5y用（x+y）與（x-y）線性表示，然后根據不等式的基本性質進行求解即可；
（III）類比到乘法有已知

5≤xy≤11 1≤ x y ≤7

，求z=

x

y5

的最大值，然后根據

x

y5

=（xy）^A•（

x

y

）^B求出A和B的值，最后根據不等式的基本性質進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）P(t)=

-t+5  &0≤t≤3 t-1  &3＜t≤6， -t+11  &6＜t≤9， t-7  &9＜t≤12

Q(t)=-

1

16

(t-4)2+6

&(0≤t≤12

．P(t)•Q(t)=(t-1)[-

1

16

(t-4)2+6]（3＜t≤6）
(P(t)•Q(t))′=-

3

16

[(t-3)2-33]＞0在t∈（3，6]恒成立，所以函數在（3，6]上遞增
當t=6時，[P（t）•Q（t）]_max=28.75．
∴6月份銷售額最大為34500元．
（Ⅱ）      

5≤x+y≤11 1≤x-y≤7

，z=x-5y．
令x-5y=A（x+y）+B（x-y），則

A+B=1 A-B=-5

⇒

A=-2 B=3

，
∴z=x-5y=-2（x+y）+3（x-y）．由-22≤-2（x+y）≤-10，3≤3（x-y）≤21，
∴-19≤z≤11，則（z）_max=11．
（Ⅲ）類比到乘法有已知

5≤xy≤11 1≤ x y ≤7

，求z=

x

y5

的最大值．由

x

y5

=（xy）^A•（

x

y

）^B

A+B=1 A-B=-5

⇒

A=-2 B=3

．
∴

1

121

≤(xy)-2≤

1

25

，1≤（xy）³≤343
∴

1

121

≤z≤

343

25

，則（z）_max=

343

25

．

點評：本題主要考查了分段函數的應用，以及研究目標函數的最值問題，同時考查了類比推理，屬于中檔題．