Question

（本題滿分13分）
如圖，棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小
（3）求點C到平面PBD的距離.

Answer 1

⑴見解析；（2）；（3）。

試題分析：方法一：⑴證：在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD為正方形，因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A  ∴BD⊥平面PAC.
解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD為PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，
知∠PDA為二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD，∴∠PDA=45⁰ . 二面角P—CD—B余弦值為。
（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，設C到面PBD的距離為d，
由，有，即，得
方法二：證：（1）建立如圖所示的直角坐標系，

則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴  
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分
解：（2）由（1）得.
設平面PCD的法向量為，則，
即，∴ 故平面PCD的法向量可取為
∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.          ……………………………7分
設二面角P—CD—B的大小為q，依題意可得 . ……………………………9分
（3）由（Ⅰ）得，設平面PBD的法向量為，
則，即，∴x=y=z，故可取為. ………11分
∵，∴C到面PBD的距離為             …………………13分
點評：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點，而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經過簡單運算即可，從而體現了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個半平面內與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角； ②設分別是二面角的兩個面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小。