Question

已知橢圓的離心率為,短軸一個(gè)端到右焦點(diǎn)的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為,求△AOB面積的最大值.

Answer 1

(Ⅰ) .
(Ⅱ) 面積取最大值.

解析試題分析：(Ⅰ)屬于橢圓的基本題型.通過建立的方程組，求得橢圓方程為.
(Ⅱ)解答本小題，應(yīng)注意討論軸和當(dāng)與軸不垂直的兩種情況.在與軸不垂直設(shè)直線的方程為.利用坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，建立 的方程.通過將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，得到.應(yīng)用均值定理得到
．
試題解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，離心率為,短軸一個(gè)端到右焦點(diǎn)的距離為.
，，∴所求橢圓方程為.
(Ⅱ)設(shè).
①當(dāng)軸時(shí)，.
②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為.
∵坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，，
把代入橢圓方程，整理得，


當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述．
∴當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值．
考點(diǎn)：橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，均值定理的應(yīng)用.