Question

【題目】為半橢圓的左、右兩個頂點，為上焦點，將半橢圓和線段合在一起稱為曲線

（1）求的外接圓圓心的坐標

（2）過焦點的直線與曲線交于兩點，若，求所有滿足條件的直線的方程

（3）對于一般的封閉曲線，曲線上任意兩點距離的最大值稱為該曲線的“直徑”，如圓的“直徑”就是通常的直徑，橢圓的“直徑”就是長軸的長，求該曲線的“直徑”

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先根據已知條件求出的三邊長,可得為邊長為的等邊三角形,再利用等邊三角形的性質,即可求得外接圓圓心的坐標;

（2）設出方程,與橢圓方程聯立方程組,得出,用弦長公式求出的長,用含的式子表示,根據,即可求出值;

（3）先設曲線上兩動點的坐標,代入兩點間距離公式,再利用放縮法,以及橢圓上點的范圍即可求出兩動點間距離的范圍,進而求出“直徑”長.

（1）由題意可知:

則,, 故為邊長為的等邊三角形

根據等邊三角形外心和重心重合,

三角形的重心坐標公式為: ,

設的外接圓圓心的坐標為,

,

故外接圓圓心的坐標為:.

（2）

記橢圓的上頂點坐標為

①若直線與曲線的兩交點,一個在橢圓上,另一個在線段上,如圖.

,,即此時,

只有直線符合題意.

②設點兩點都在橢圓上,

直線

將橢圓和直線聯立方程組,消掉:

則: 得 即

由韋達定理可得:

由弦長公式得: 解得:

當時,直線

當時,直線

綜上所述,滿足題意的直線有三條分別為:.

（3）設曲線上兩動點

顯然至少有一點在橢圓上時才能取得最大

不妨設

則

等號成立時:,或,

由兩點距離公式可得:

故曲線的“直徑”為:.