Question

如圖，已知直線l與拋物線x²=4y相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，定點B的坐標為（2，0）．
（I）若動點M滿足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，求點M的軌跡C；
（Ⅱ）若過點B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對拋物線方程進行求導，求得直線l的斜率，設出M的坐標，利用

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0求得x和y的關系．
（II）設l'方程代入橢圓的方程，消去y，利用判別式大于0求得k的范圍，設出E，F的坐標，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，令λ=

S△OBE

S△OBF

，則可推斷出

BE

=λ•

BF

，進而表示出（x₁-2）•（x₂-2）和（x₁-2）+（x₂-2），最后求得k和λ的關系，利用k的范圍求得λ的范圍．

解答：解：（I）由x²=4y得y=

1

4

x2，
∴y′=

1

2

x．
∴直線l的斜率為y'|_x=2=1，
故l的方程為y=x-1，∴點A的坐標為（1，0）．
設M（x，y），則

AB

=（1，0），

BM

=(x-2，y)，

AM

=(x-1，y)，
由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0得(x-2)+y•0+

2

•

(x-1)2+y2

=0，
整理，得

x2

2

+y2=1．
∴動點M的軌跡C為以原點為中心，焦點在x軸上，長軸長為2

2

，短軸長為2的橢圓．
（II）如圖，由題意知l'的斜率存在且不為零，
設l'方程為y=k（x-2）（k≠0）=1 ①，
將 ①代入

x2

2

+y2=1，整理，得
（2k²+1）x²-8k²•x+（8k²-2）=0，由△＞0得0＜k2＜

1

2

．
設E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），則

x1+x2= 8k2 2k2+1 x1x2= 8k2-2 2k2+1

，②
令λ=

S△OBE

S△OBF

，則，
由此可得

BE

=λ•

BF

，λ=

x1-2

x2-2

，且0＜λ＜1．
由 ②知(x1-2)+(x2-2)=

-4

1+2k2

，
(x1-2)•(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=

2

1+2k2

．
∴

λ

(1+λ)2

=

2k2+1

8

，
即k2=

4λ

(1+λ)2

-

1

2

．
∵0＜k2＜

1

2

，∴0＜

4λ

(1+λ)2

-

1

2

＜

1

2

，
解得3-2

2

＜λ＜3+2

2

．
又∵0＜λ＜1，∴3-2

2

＜λ＜1，
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3-2

2

，1）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生基本的推理能力和基本的運算能力．