Question

已知等比數列{a_n}的前n項和S_n＝2ⁿ－a，n∈N^*．設公差不為零的等差數列{b_n}滿足：b₁＝a₁＋2，且b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比數列．
（Ⅰ）求a的值及數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{loga_n}的前n項和為T_n．求使T_n＞b_n的最小正整數n．

Answer 1

（Ⅰ）a＝1，b_n＝8n－5；（Ⅱ）9.

試題分析：（Ⅰ）依據S_n＝2ⁿ－a，根據數列的前n項和，求出數列{a_n}的通項公式，并且根據初始條件求出a＝1，a_n＝2^n－1，再根據b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比數列，得出(b₄＋5)²＝(b₂＋5)(b₈＋5)，解得d＝0（舍去），或d＝8，從而求出{b_n}的通項公式為b_n＝8n－5；（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n＝2^n－1代入loga_n＝2(n－1)，易知該數列是等差數列，根據等差數列的前n項和，求出T_n＝＝n(n－1)，而b_n＝8n－5，根據T_n＞b_n，n(n－1)＞8n－5，解得n≥9，故所求n的最小正整數為9.
試題解析：
（Ⅰ）當n＝1時，a₁＝S₁＝2－a；
當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2^n－1．
∵{a_n}為等比數列，
∴2－a＝1，解得a＝1．
∴a_n＝2^n－1．
設數列{b_n}的公差為d，
∵b₂＋5，b₄＋5，b₈＋5成等比數列，
∴(b₄＋5)²＝(b₂＋5)(b₈＋5)，
又b₁＝3，
∴(8＋3d)²＝(8＋d)(8＋7d)，
解得d＝0（舍去），或d＝8．
∴b_n＝8n－5．
（Ⅱ）由a_n＝2^n－1，得loga_n＝2(n－1)，
∴{loga_n}是以0為首項，2為公差的等差數列，
∴T_n＝＝n(n－1)．
由b_n＝8n－5，T_n＞b_n，得
n(n－1)＞8n－5，即n²－9n＋5＞0，
∵n∈N^*，∴n≥9．
故所求n的最小正整數為9．