Question

【題目】已知橢圓M： + =1（a＞0）的一個焦點為F（﹣1，0），左右頂點分別為A，B，經過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2 ， 求|S1﹣S2|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為F（﹣1，0）為橢圓的焦點，所以c=1， 又b= ，所以a=2，
所以橢圓方程為 =1；
（Ⅱ）直線l無斜率時，直線方程為x=﹣1，
此時D（﹣1， ），C（﹣1，﹣ ），△ABD，△ABC面積相等，|S1﹣S2|=0，
當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設直線方程為y=k（x+1）（k≠0），
設C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），
和橢圓方程聯立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
顯然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
此時|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|
=2|k（x2+x1）+2k|= = ≤ = ，（k=± 時等號成立）
所以|S1﹣S2|的最大值為
【解析】（Ⅰ）由焦點F坐標可求c值，根據a，b，c的平方關系可求得a值；（Ⅱ）當直線l不存在斜率時可得，|S1﹣S2|=0；當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯立消y可得x的方程，根據韋達定理可用k表示x1+x2 ， x1x2 ， |S1﹣S2|可轉化為關于x1 ， x2的式子，進而變為關于k的表達式，再用基本不等式即可求得其最大值．