Question

【題目】三個圓交于一點，又兩兩將于點、、.以為圓心的一個圓與上述三個圓分別交于點，，，其中，點在不含點的圓上，等等.又設、、的外接圓交于一點， 、的外接圓交于一點.證明：.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

以圓為基圓作反演，各點反演后的像仍用同一字母表示（下面出現的字母都是各點反演后的像）.則三個圓的反形為三條直線、、（如圖）.

只需證明反形中有.

由條件，反演后仍為、、的外接圓的交點，仍為、、的外接圓的交點.

首先證明：是點的等角共軛點（即等）.

事實上，

.

設的等角共軛點為.則

.

所以，.

類似得到其他兩式.

于是，.

其次，作，關于的垂足三角形、（圖）.

因，所以，、、、四點共圓.

同樣得到另兩個圓.

若這三個圓不重合，則其三條根軸（、、）共點，此時，三邊共點，矛盾.

于是這三個圓重合，即、、、、、六點共圓，設其圓心為，則在、、的中垂線上，這些中垂線平分的中點.

由共圓知，.

則.

繞點旋轉角度，再作以為中心的相似變換，使相似比為.

則，.

所以，.

顯然，.

故.

又為的中點，故.