Question

【題目】設圓x2+y2=12與拋物線x2=4y相交于A，B兩點，F為拋物線的焦點，若過點F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個不同的點，從左至右依次為P1 ， P2 ， P3 ， P4 ， 則|P1P2|+|P3P4|的值 ， 若直線m與拋物線相交于M，N兩點，且與圓相切，切點D在劣弧 上，則|MF|+|NF|的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】5 ；[2+4 ，22]
【解析】解：由 ，得 或 ，
即A（﹣2 ，2），B（2 ，2）．
∵點F坐標為（0，1），∴kFB= ，∴kl＞kFB ，
所以直線l與圓交于P1、P3兩點，與拋物線交于P2、P4兩點，
設P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），P3（x3 ， y3），P4（x4 ， y4）
把直線l方程：y=x+1代入x2=4y，得x2﹣4x﹣4=0，∴x2+x4=4；
把直線l方程：y=x+1代入x2+y2=12，得2x2+2x﹣11=0，∴x1+x3=﹣1
∴|P1P2|+|P3P4|= [（x2﹣x1）+（x4﹣x3）]= [（x2+x4）﹣（x1+x3）]=5
所以|P1P2|+|P3P4|的值等于5 ．
設直線m的方程為y=k+b（b＞0），
代入拋物線方程得x2﹣4kx﹣4b=0，
設點M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則x1+x2=4k，
則y1+y2=k（x1+x2）+2b=4k2+2b，
∵直線m與該圓相切，∴ = ，即 ，
又|MF|=y1+1，|NF|=y2+1，
∴|MF|+|NF|=y1+y2+2=4k2+2b+2=
∵kOA=﹣ ，kOB= ，∴分別過A、B的圓的切線的斜率為 ，﹣ ．
∴k∈[﹣ ， ]，∴0≤k2≤2，∴0≤ ﹣1≤12，
∵b＞0，∴b∈[2 ，6]
所以|MF|+|NF|的取值范圍為[2+4 ，22]．
故答案為：5 ；[2+4 ，22]．

由圓的方程和拋物線的方程聯解，求得交點A、B的坐標，從而判斷直線l與圓交于P1、P3 ， 直線l與拋物線交于P2、P4 ， 另|P1P2|+|P3+P4|的表達式用P1 ， P2 ， P3 ， P4的四點的橫坐標表示，然后根據根與系數的關系，代入表達式，即解；先設直線m的方程y=k+b，交點M、N坐標，再用點M、N縱坐標表示出|MF|+|NF|，由與圓相切，得到k與b的關系，消去k用b表示|MF|+|NF|，即得到關于b的一個函數，由kOA=﹣ ，kOB= ，得到k的范圍，由此求得b的范圍，再將b的代入|MF|+|NF|的函數關系式中并求出其范圍．