Question

已知函數f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.

(1)若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值；

(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍．

 

Answer 1

(1) a＝0，b＝1.(2) b>1

【解析】(1)由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，

得f′(x)＝x(2＋cos x)，

∵y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切．

∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)，

則a＝0，b＝f(0)＝1.

(2)令f′(x)＝0，得x＝0.

∴當x>0時，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)遞增．

當x<0時，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上遞減．

∴f(x)的最小值為f(0)＝1.

由于函數f(x)在區間(－∞，0)和(0，＋∞)上均單調，

所以當b>1時曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個不同交點．