Question

例

已知二次函數f(x)對任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，設向量=(sinx,2)，=(2sin,x)，=(cos2x,1)，=(1,2)，當x∈[0,π]時，求不等式f(·)＞f(·)的解集.

Answer 1

當m＞0時，為{x|＜x＜；當m<0時，為{x|0≤x＜或＜x＜π。

解析:

【易錯點分析】易忽視二次函數的開口方向的討論和三角、向量、函數三者的綜合程度不夠。

解析：設f(x)的二次項系數為m，其圖象上的兩點為A(1－x,y₁)、B(1＋x,y₂)，因為=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y₁=y₂由x的任意性得f(x)的圖象關于直線x=1對稱，若m＞0，則x≥1時，f(x)是增函數；若m＜0，則x≥1時，f(x)是減函數。∵·=（sinx，2）·（2sinx,）=2sin²x＋1≥1，·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1∴當m＞0時，f(·)＞f(·)f(2sin²x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin²x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z∵0≤x≤π ∴＜x＜當m＜0時，同理可得0≤x＜或＜x≤π綜上所述，不等式f(·)＞f(·)的解集是：當m＞0時，為{x|＜x＜；當m<0時，為{x|0≤x＜或＜x＜π。