Question

（2006•上海模擬）設f（x）是R上的奇函數，對任意實數x都有f（x+2）=-f（x），當-1≤x≤1時，f（x）=x³
（1）求證：x=1是函數f（x）的一條對稱軸
（2）證明函數f（x）是以4為周期的函數，并求x∈[1，5]時，f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）直接根據f（x+2）=-f（x）=f（-x）對任意實數X成立即可得到結論；
（2）根據f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）即可得到 f（x）是以4為最小正周期的周期函數；再結合對稱軸以及周期即可求出x∈[1，5]時，f（x）的解析式．

解答：解：（1）證明：因為奇函數，所以f（x+2）=-f（x）=f（-x）對任意實數X成立．
又因為x+2，-x關于直線x=1對稱，
故：直線x=1是函數f（x）圖象上的一條對稱軸
（2）證明：因為：f（x+2）=-f（x）
所以：f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）是以4為最小正周期的周期函數因為：直線x=1是函數f（x）圖象上的一條對稱軸；
所以：1≤x≤3的圖象與-1≤x≤1的圖象關于直線x=1對稱．
故：f（x）=-（x-2）³，1≤x≤3；
∵f（x）是以4為最小正周期的周期函數
∴3≤x≤5的圖象與-1≤x≤1的圖象
∴f（x）=（x-4）³，3≤x≤5．
∴f（x）=

-(x-2)3        1≤x≤3 (x-4)3           3＜x≤5

．

點評：本題主要考查了函數的周期性以及奇偶性，對稱性．要特別利用好題中的關系式f（x+2）=-f（x）．