Question

（2010•吉安二模）已知函數f(x)=-

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x3+bx+cx+bc(b、c∈R，且b≠0），求曲線y=f（x）上斜率為c的切線與該曲線的公共點．

Answer 1

分析：由導函數的幾何意義可知函數圖象在切點處的切線的斜率值即為其點的導函數值，解得x₀=0或x₀=2b再對x的值進行分類討論：①當x₀=0，②當x₀=2b，分別求得公共點的坐標，最后綜合即可．

解答：解：設曲線y=f（x）在x=x₀處的切線的斜率為c

∵f′(x)=-x2+2bx+c ∴- x 2 0 +2bx0+c=c

解得x₀=0或x₀=2b…（2分）
①當x₀=0，則f（0）=bc得切點為（0，bc），切線方程為y=cx+bc
若-

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3

x3+bx2+cx+bc=cx+bc…（4分）

?x3-2bx2=0解得x1=x2=0， x3=3b則此時切線y=cx+bc

與曲線y=f（x）的公共點為（0，bc），（3b，4bc）…（6分）
②當x₀=2b，則f（2b）=

4

3

b3+2bc，
得切點為(2b，

4

3

b3+2bc)，切線方程為y=cx+bc+

4

3

b3
若-

1

3

x3+bx2+cx+bc=cx+bc+

4

3

b3…（8分）

?x3-2bx2+4b3=0解得x1=x2=2b， x3=-b，則此時y=cx+bc+ 4 3 b3與曲線

y=f(x)的公共點為(2b，

4

3

b3+3bc)，(-b，

4

3

b3)…（11分）
綜合上述，當b≠0時，斜率為c的切線與曲線y=f（x）有兩個不同的公共點，
分別為(0，bc)和(3b，4bc)，或(2b，

4

3

b3+2bc)和(-b，

4

3

b3)…（12分）

點評：本題考查了導數的幾何意義，以及直線的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．