Question

已知數列{a_n}中，S_n是它的前n項和，并且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，…），a₁=1.
（1）設b_n=a_n+1-2a_n(n=1,2,…)，求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）設c_n=(n=1,2,…),求證：數列{c_n}是等差數列；
（3）求數列{a_n}的通項公式及前n項和公式.

Answer 1

（1）證明略（2）證明略（3）{a_n}的前n項和公式為S_n=（3n-4）·2^n-1+2

（1）證明 ∵S_n+1=4a_n+2，
∴S_n+2=4a_n+1+2，兩式相減，得
S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n(n=1,2,…),
即a_n+2=4a_n+1-4a_n,
變形得a_n+2-2a_n+1=2(a_n+1-2a_n)
∵b_n=a_n+1-2a_n(n=1,2,…),∴b_n+1=2b_n.
由此可知，數列{b_n}是公比為2的等比數列.
（2）證明 由S₂=a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1.
得a₂=5,b₁=a₂-2a₁=3.故b_n=3·2^n-1.
∵c_n=(n=1,2,…),
∴c_n+1-c_n=-==.
將b_n=3·2^n-1代入得
c_n+1-c_n=(n=1,2,…),
由此可知，數列{c_n}是公差為的等差數列，
它的首項c₁==，故c_n=n-(n=1,2,…).
（3）解 ∵c_n=n-=(3n-1).
∴a_n=2ⁿ·c_n=(3n-1)·2^n-2 (n=1,2,…)
當n≥2時，S_n=4a_n-1+2=(3n-4)·2^n-1+2.
由于S₁=a₁=1也適合于此公式，
所以{a_n}的前n項和公式為S_n=（3n-4）·2^n-1+2.