Question

設函數的圖像在處取得極值4.
(1)求函數的單調區間；
(2)對于函數，若存在兩個不等正數，當時，函數的值域是，則把區間叫函數的“正保值區間”.問函數是否存在“正保值區間”，若存在，求出所有的“正保值區間”；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）遞增區間是和，遞減區間是；（2）不存在.

試題分析：（1）求導，利用極值點的坐標列出方程組，解出，確定函數解析式，再求導，求單調區間；（2）先假設存在“正保值區間”，通過已知條件驗證是否符合題意，排除不符合題意得情況.
試題解析：（1），                   1分
依題意則有：，即 解得 v        3分
∴.令，
由解得或，v                     5分
所以函數的遞增區間是和，遞減區間是        6分
（2）設函數的“正保值區間”是，因為，
故極值點不在區間上；
①若極值點在區間，此時，在此區間上的最大值是4，不可能等于；故在區間上沒有極值點；                 8分
②若在上單調遞增，即或，
則，即，解得或不符合要求；       10分
③若在上單調減，即1<s<t<3，則，
兩式相減并除得：，    ①
兩式相除可得，即，
整理并除以得：，②
由①、②可得，即是方程的兩根，
即存在，不合要求.                   12分
綜上可得不存在滿足條件的s、t，即函數不存在“正保值區間”。    13分