Question

已知函數，如果函數恰有兩個不同的極值點，，且.
（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此時的值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）最小值為，此時.

試題分析：（Ⅰ）函數有兩個不同的極值點，等價于有兩個不等的實數根，即有兩個不同的零點和，利用導數判斷的形狀， ，發現函數當時，是減函數；當時，是增函數，故；（Ⅱ），又，故，是自變量為，定義域的函數，利用導數求其最值，并計算相應的值．
試題解析：（Ⅰ）∵ 函數恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，，
∴方程有兩個不同的零點，， 令，，當時，，是減函數；當時，，是增函數，∴ 在時取得最小值．
∴ ．
（Ⅱ）∵，即，∴，于是
， ∴，∵，∴．
∴ 當時，，是減函數；當時，，是增函數．
∴ 在上的最小值為，此時.