Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（1﹣m）lnx+ ﹣x，m∈R且m≠0．
（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，令g（x）=f（x）+log2（3k﹣1），k為常數(shù)，求函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞1﹣ 在x∈[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，g（x）=﹣lnx+x2﹣x+log2（3k﹣1），x＞0，

所以 ，

令g'（x）=0，解得x=1或 （舍去），

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，所以y=g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，所以y=g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以x=1是y=g（x）的極小值點(diǎn)，y=g（x）的最小值為g（1）=log2（3k﹣1）…（3分）

當(dāng)log2（3k﹣1）=0，即 時(shí)，函數(shù)y=g（x）有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)log2（3k﹣1）＞0，即 時(shí)，函數(shù)y=g（x）沒有零點(diǎn)，

當(dāng)log2（3k﹣1）＜0，即 時(shí)，函數(shù)y=g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)

（Ⅱ）由已知 ，

令f'（x）=0，解得 ，由于 ，

①若m＜0，則 ，故當(dāng)x≥1時(shí)，f'（x）≤0，因此f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以 ，又因?yàn)? ，則 不成立

②若 ，則 ，故當(dāng) 時(shí)，f'（x）≤0；當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0，

即f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，

所以 ，

因?yàn)? ，所以 ，

則 ，

因此當(dāng) 時(shí)， 恒成立

③若 ，則 ，故當(dāng)x≥1時(shí)，f'（x）≥0，

因此f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

故 ，令 ，化簡得m2﹣4m+2＞0，

解得 ，所以

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）的最小值，確定m的范圍即可．