Question

已知函數f(x)=

( 1 2 )|x|- 1 4 ，x≤0 |log2(x-1)|，x＞1

．
（1）在下面給定的坐標系中作出函數f（x）的圖象；
（2）寫出函數f（x）的零點和值域；
（3）若關于x的方程f（x）=k有兩個不同的實根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由所給的函數的解析式，把它化為分段函數的形式，從而畫出 f（x） 的圖象．
（2）結合函數f（x）的圖象，數形結合得出f（x）的零點和值域．
（3）由題意可得，函數f（x） 的圖象和直線y=k有2個不同的交點，數形結合求得實數k的取值范圍．

解答：解：（1）由函數的解析式可得 f（x）=

2x-  1 4  ， x≤0 -log2(x -1)， 1＜x＜2 log2(x-1) ， x≥2

，它的圖象如圖所示：

（2）由函數f（x）的圖象可得函數的零點為 x=-2和 x=2，值域為（-

1

4

，+∞）．
（3）若關于x的方程f（x）=k有兩個不同的實根，則函數f（x） 的圖象和直線y=k有2個不同的交點，
故k＞

3

4

，故實數k的取值范圍為（-

3

4

，+∞）．

點評：本題主要考查對數型復合函數的性質以及應用，函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．