Question

（本小題滿分12分）
已知函數
（1）證明：當時，函數只有一個零點；
（2）若函數在區間（1，+∞）上是減函數，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）函數只有一個零點；證明略
（2）實數a的取值范圍是

解：（1）當a=1時，
其定義域為
    …………2分
解得
當，
在區間（0，1）上單調遞增，
在區間上單調遞減，
當x=1時，函數f（x）取得最大值，即    …………4分
所以函數只有一個零點；     …………5分
（2）因為，
所以
①當a=0時，
所以上為增函數，不合題意  …………7分
②當，
即，此時，f（x）的單調減區間為，依題意，
得       …………9分
（3）當
即的單調減區間為

綜上所述，實數a的取值范圍是  …………12分