Question

【題目】已知函數f（x）＝x2+acosx．

（1）求函數f（x）的奇偶性．并證明當|a|≤2時函數f（x）只有一個極值點；

（2）當a＝π時，求f（x）的最小值；

Answer 1

【答案】（1）偶函數，證明詳見解析；（2）．

【解析】

（1）由奇偶性定義容易判斷函數的奇偶性；要說明函數只有一個極值點，即導函數只有一個零點，結合導函數的單調性即可解決；

（2）討論函數f（x）的單調性，求出函數的極小值、端點處函數值比較即可求出最小值．

（1）因為f（﹣x）＝f（x），故函數f（x）是偶函數．

f′（x）＝2x﹣asinx，f′（0）＝0，故只需討論x＞0時情況，

∵x＞0，由三角函數的性質知，x＞sinx，2≥|a|，∴f′（x）＞0，∴x＞0時，f（x）是增函數，

又f（x）是偶函數，所以x＜0時，f（x）單調遞減．

故|a|≤2時，函數f（x）只有一個極小值點x＝0．

（2）由（1）知，只需求x≥0時f（x）的最小值．

，

設h（x）＝2x﹣πsinx，h′（x）＝2﹣πcosx，因為，

由零點存在性定理，存在唯一的，使得h′（x0）＝0．

當x∈（0,x0），h′（x）＜0，h（x）遞減；．

又因為h（0）＝h（）＝0，所以x時，f′（x）＝h（x）＜0恒成立，f（x）在（0,）上遞減；

當x時，f′（x）＝2x﹣πsinx＞π﹣πsinx＞0，f（x）為增函數．

所以．