Question

如圖所示,已知三棱柱ABCA₁B₁C₁,

(1)若M、N分別是AB,A₁C的中點(diǎn),求證:MN∥平面BCC₁B₁;
(2)若三棱柱ABCA₁B₁C₁的各棱長均為2,∠B₁BA=∠B₁BC=60°,P為線段B₁B上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PA+PC最小時(shí),求證:B₁B⊥平面APC.

Answer 1

（1）見解析  （2）見解析

解析證明:(1)連接AC₁,BC₁,則AN=NC₁,

因?yàn)锳M=MB,
所以MN∥BC₁.
又BC₁?平面BCC₁B₁,
MN?平面BCC₁B₁,
所以MN∥平面BCC₁B₁.
(2)將平面A₁B₁BA展開到與平面C₁B₁BC共面,A到A′的位置,此時(shí)A′BCB₁為菱形,

可知PA+PC=PA′+PC,A′C即為PA+PC的最小值,
此時(shí)BB₁⊥A′C,
∴BB₁⊥PA′,BB₁⊥PC,
即BB₁⊥PA,BB₁⊥PC,
∴BB₁⊥平面PAC.