Question

本題滿分16分）
如圖，拋物線軸交于O，A兩點，交直線于O，B兩點，經過三點O，A，B作圓C。

（I）求證：當b變化時，圓C的圓心在一條定直線上；
（II）求證：圓C經過除原點外的一個定點；
（III）是否存在這樣的拋物線M，使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑？

Answer 1

解：（I）易得
設圓C的方程為
………………4分
這說明當b變化時，（I）中的圓C的圓心在定直線上。………………6分
（II）設圓C過定點
………………9分
故當b變化時，（I）中的圓C經過除原點外的一個定點坐標為（—1，1）。11分
（III）拋物線M的頂點坐標為（），若存在這樣的拋物線M，使它的頂點與它對應的圓C的圓心之間的距離不大于圓C的半徑，
則，………………14分
整理得
以上過程均可逆，故存在拋物線使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑。  ………………16分

略