Question

【題目】如圖所示，某公園內有兩條道路，，現計劃在上選擇一點，新建道路，并把所在的區域改造成綠化區域．已知， ．

（1）若綠化區域的面積為1，求道路的長度；

（2）若綠化區域改造成本為10萬元/，新建道路成本為10萬元/．設（），當為何值時，該計劃所需總費用最小？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由的面積可得，結合余弦定理可得結果.

（2）在中利用正弦定理可得，．從而得到總費用 ．利用導數研究最值即可.

（1）因為在中，已知， ，

所以由的面積，

解得．

在中，由余弦定理得：

，

所以．

（2）由，則，．

在中，， ，由正弦定理得，

所以，．

記該計劃所需費用為，

則 ．

令，則，

由，得．所以當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增．

所以時，該計劃所需費用最小．