Question

【題目】已知函數f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.

(1)求f(x)的最小值m；

(2)若a，b，c均為正實數，且滿足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3.

Answer 1

【答案】（1）m＝3 （2）證明見解析

【解析】

（1）分段討論當x＜－1時，當－1≤x＜2時，當x≥2時，函數f(x)的值域，然后求函數在定義域上的值域即可；

（2）由已知條件a＋b＋c＝3，再結合重要不等式證明即可.

解：（1）當x＜－1時，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；

當－1≤x＜2時，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；

當x≥2時，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．

即，

綜上，f(x)的最小值m＝3.

（2）證明：因為a，b，c均為正實數，且滿足a＋b＋c＝3，

所以＋＋＋(a＋b＋c)

＝＋＋

≥2

＝2(a＋b＋c)，

當且僅當a＝b＝c＝1時，取“＝”，

所以＋＋≥a＋b＋c，

又a＋b＋c＝3，

即＋＋≥3.