Question

(1) 在直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為為參數），M為上的動點，P點滿足，點P的軌跡為曲線．已知在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與的異于極點的交點為A，與的異于極點的交點為B，求|AB|．
(2) 某旅游景點給游人準備了這樣一個游戲，他制作了“迷尼游戲板”：在一塊傾斜放置的矩形膠合板上釘著一個形如“等腰三角形”的八行鐵釘，釘子之間留有空隙作為通道，自上而下第1行2個鐵釘之間有1個空隙，第2行3個鐵釘之間有2個空隙，…，第8行9個鐵釘之間有8個空隙(如圖所示)．東方莊家的游戲規則是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次(放入一球就算玩一次)先付給莊家2元．若小球到達①②③④號球槽，分別獎4元、2元、0元、-2元．(一個玻璃球的滾動方式：通過第1行的空隙向下滾動，小球碰到第二行居中的鐵釘后以相等的概率滾入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按類似方式繼續往下滾動，落入第8行的某一個空隙后，最后掉入迷尼板下方的相應球槽內)．恰逢周末，某同學看了一個小時，留心數了數，有80人次玩．試用你學過的知識分析，這一小時內游戲莊家是贏是賠? 通過計算，你得到什么啟示?

Answer 1

（1）.
(2)～B(7，)． 一小時內有80人次玩．游戲莊家通常獲純利為(2+×)80=225(元)
答：莊家當然是贏家!我們應當學會以所學過的知識為武器，勸說人們不要被這類騙子的騙術所迷惑．                               16分

解析試題分析：設P(x，y)，則由條件知M().由于M點在C₁上，所以
  即 
從而的參數方程為    （為參數）  4分
∴ 曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．
射線與的交點的極徑為，
射線與的交點的極徑為．
所以.  8分
(2)

解：游人每玩一次，設游戲莊家獲利為隨機變量(元)；游人每放一球，小球落入球槽，相當于做7次獨立重復試驗，設這個小球落入鐵釘空隙從左到右的次序為隨機變量+1，
則～B(7，)．  10分
因為P(=-4)=P(=0或=7)=P(=0)+P(=7)=+=
P(=-2)=P(=1或=6)=P(=1)+P(=6)=+=
P(=0)=P(=2或=5)=P(=2)+P(=5)=+=
P(=2)=P(=3或=4)=P(=3)+P(=4)=+=
2+E=2+(-4)×+(-2)×+0×+2×=2+，   14分
一小時內有80人次玩．游戲莊家通常獲純利為(2+×)80=225(元)
答：莊家當然是贏家!我們應當學會以所學過的知識為武器，勸說人們不要被這類騙子的騙術所迷惑．                               16分
考點：本題主要考查簡單曲線的參數方程、極坐標方程，獨立重復試驗概率計算，隨機變量的分布列及數學期望。
點評：綜合題，本題綜合考查簡單曲線的參數方程、極坐標方程，獨立重復試驗概率計算，隨機變量的分布列及數學期望。（2）作為應用問題，寓教于樂，令人生趣。對計算能力要求較高。