Question

【題目】已知為定義在 上的奇函數，當時，函數解析式為.

（Ⅰ）求的值，并求出在上的解析式；

（Ⅱ）求在上的最值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上的解析式為f（x）＝2x－4x ；（Ⅱ）函數在[0,1]上的最大與最小值分別為0，-2.

【解析】

試題（Ⅰ）由于f（x）為定義在[－1,1]上的奇函數，故f（0）＝0，即f（0）＝＝1－＝0.從而＝1.

設x∈[0,1]，則－x∈[－1,0]．由f（－x）＝－f（x）即可得在上的解析式.（Ⅱ）當x∈[0,1]，f（x）＝2x－4x＝2x－（2x）2，設t＝2x（t>0），則f（t）＝t－t2.這樣轉化為求二次函數在給定區間上的最大值，最大值.

試題解析：解：（Ⅰ）∵f（x）為定義在[－1,1]上的奇函數，且f（x）在x＝0處有意義，

∴f（0）＝0，即f（0）＝＝1－＝0.

∴＝1.

設x∈[0,1]，則－x∈[－1,0]．

∴f（－x）＝－＝4x－2x.

又∵f（－x）＝－f（x）

∴－f（x）＝4x－2x.

∴f（x）＝2x－4x.

所以，在 [上的解析式為f（x）＝2x－4x

（Ⅱ）當x∈[0,1]，f（x）＝2x－4x＝2x－（2x）2，

∴設t＝2x（t>0），則f（t）＝t－t2.

∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．

當t＝1時，取最大值，最大值為1－1＝0.

當t=0時，取最小值為-2.

所以，函數在[0,1]上的最大與最小值分別為0，-2.