Question

在△ABC中，D為BC邊中點(diǎn)，∠B+∠DAC=90°，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：由條件求得∠DAC=90°-∠B，∠DAB=90°-∠C．△ABD中利用正弦定理，△ADC中，利用正弦定理，化簡(jiǎn)可得
sin2B=sin2C，可得2B=2C，或2B+2C=π，從而得到△ABC為等腰或直角三角形．

解答：解：

∠B+∠DAC=90°

，
∴

∠C+∠DAB=90°

，∴∠DAC=90°-∠B，∠DAB=90°-∠C． …（2分）
在△ABD中，

AD

sinB

=

BD

sin(90°-∠C)

，在△ADC中，

AD

sinC

=

DC

sin(90°-∠B)

．…（6分）
兩式相比得sinCcosC=sinBcosB，…（8分）
即sin2B=sin2C，
∴2B=2C，或2B+2C=π，故△ABC為等腰或直角三角形．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和公式、以及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．