Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的動點．
（1）當E恰為棱CC₁的中點時，試證明：平面A₁BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC₁上是否存在一個點E，可以使二面角A₁-BD-E的大小為45°？如果存在，試確定點E在棱CC₁上的位置；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，BD，設AC∩BD=O，連接A₁O，OE，在等邊△A₁BD中，BD⊥A₁O，由BD⊥A₁E，A₁O?平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，知∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，由此能夠證明平面A₁BD⊥平面EBD．
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，假設棱CC₁上存在點E，可以使二面角A₁-BD-E的大小為45°，由∠A₁OE=45°設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2a，EC=x，由平面幾何知識，得EO=

2a2+x2

，A1O=

6

a，A1E=

8a2+(2a-x)2

，由此能推導出棱OC₁上不存在滿足條件的點．

解答：（1）證明：連接AC，BD，設AC∩BD=O，連接A₁O，OE，
在等邊△A₁BD中，BD⊥A₁O，
∵BD⊥A₁E，A₁O?平面A₁OE，A₁O∩A₁E=A₁，
∴BD⊥平面A₁OE，
于是BD⊥OE，
∴∠A₁OE是二面角A₁-BD-E的平面角，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設棱長為2a，
∵E是棱CC₁的中點，
∴由平面幾何知識，得EO=

3

a，A1O=

6

a，A₁E=3a，
滿足A1E2=A1O2+EO2，
∴∠A₁OE=90°，即平面A₁BD⊥平面EBD．
（2）解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
假設棱CC₁上存在點E，可以使二面角A₁-BD-E的大小為45°，
由（1）知，∠A₁OE=45°，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2a，EC=x，
由平面幾何知識，得EO=

2a2+x2

，A1O=

6

a，A1E=

8a2+(2a-x)2

，
∴在△A₁OE中，由A1E2=A1O2+EO2-2A1O•EO•cos∠A1OE，
得x²-8ax-2a²=0，
解得x=4a±3

2

a，
∵4a+3

2

a＞2a，4a-3

2

a＜0，
∴棱OC₁上不存在滿足條件的點．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查棱CC₁上是否存在一個點E，可以使二面角A₁-BD-E的大小為45°．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．