Question

（2013•大興區一模）若實數a，b滿足a²+b²≤1，則關于x的方程x²-2x+a+b=0有實數根的概率是（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  3

  4

• C．

  3π+2

  4π

• D．

  π-2

  4π

Answer 1

分析：由題意，以a為橫坐標、b為縱坐標建立直角坐標系，可得滿足a²+b²≤1的點（a，b）在單位圓及其內部，如圖所示．若關于x的方程x²-2x+a+b=0有實數根，則點（a，b）滿足a+b≤1，即在單位圓內且直線a+b=1的下方．由此結合幾何概型計算公式，用圖中黃色陰影部分的面積除以單位圓的面積，即可得到所求的概率．

解答：解：∵實數a，b滿足a²+b²≤1，
∴以a為橫坐標、b為縱坐標建立直角坐標系，
可得所有的點（a，b）在以O為圓心，半徑為1的圓及其內部，
即單位圓及其內部，如圖所示
若關于x的方程x²-2x+a+b=0有實數根，
則滿足△=4-4（a+b）≥0，解之得a+b≤1
符合上式的點（a，b）在圓內且在直線a+b=1的下方，
其面積為S₁=

3

4

π×1²+

1

2

×1×1=

3π

4

+

1

2

，
又∵單位圓的面積為S=π×1²=π
∴關于x的方程x²-2x+a+b=0無實數根的概率為P=

S1

S

=

3π 4 + 1 2

π

=

3π+2

4π

故選：C

點評：本題給出a、b滿足的關系式，求關于x的方程有實數根的概率，著重考查了弓形面積計算公式、一元二次方程根的判別式和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．