Question

已知函數f(x)=

3

sin(2ωx-

π

3

)+b，且該函數圖象的對稱中心和對稱軸的最小距離為

π

4

，當x∈[0，

π

3

]時，f（x）的最大值為

5

2

．
（1）求f（x）的解析式．
（2）畫出f（x）在長度為一個周期內的簡圖（直接畫圖，不用列表）．
（3）分步說明該函數的圖象是由正弦曲線經過怎樣的變化得到的．

Answer 1

分析：（1）由函數圖象的對稱中心和對稱軸的最小距離為

π

4

，得周期，從而可得ω，由最大值可得b；
（2）用五點法可作得函數圖象；
（3）根據圖象的變化規律可逐步得到；

解答：解：（1）∵該函數圖象的對稱中心和對稱軸的最小距離為

π

4

，
∴最小正周期T=π，則ω=1，
當x∈[0，

π

3

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴f（x）_max=

3

×

3

2

+b=

5

2

，解得b=1，
∴f（x）=

3

sin(2x-

π

3

)+1；
（2）函數f（x）的圖象如右：
（3）把函數y=sinx的圖象向右平移

π

3

個單位得到y=sin（x-

π

3

）的圖象，縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，
得到y=sin（2x-

π

3

）的圖象，橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的

3

倍，得到y=

3

sin（x-

π

3

）的圖象，
再把圖象上所有點向上平移1個單位，得到f（x）=

3

sin(2x-

π

3

)+1的圖象．

點評：本題考查y=Asin（ωx+φ）+b的圖象作法、圖象變換及函數解析式的求解，屬中檔題．