Question

如圖所示，四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，
E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，。
（I）證明：平面PBE平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小。

Answer 1

（I）同解析（II）二面角的大小為

解：解法一（I）如圖所示, 連結(jié)由是菱形且知，
是等邊三角形. 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以
又所以
又因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，
所以而因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以
又所以是二面角的平面角．
在中, ．
故二面角的大小為
解法二：如圖所示,以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823135827256653.gif" style="vertical-align:middle;" />平面PAB的一個法向量是所以和共線.
從而平面PAB. 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823135826929262.gif" style="vertical-align:middle;" />平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）易知設(shè)是平面PBE的一個法向量,
則由得 所以
故可取而平面ABE的一個法向量是
于是,．
故二面角的大小為