Question

【題目】已知F1、F2是橢圓C的左右焦點，點A，B為其左右頂點，P為橢圓C上（異于A、B）的一動點，當P點坐標為（1， ）時，△PF1F2的面積為 ，分別過點A、B、P作橢圓C的切線l1 ， l2 ， l，直線l與l1 ， l2分別交于點R，T．

（1）求橢圓C的方程；
（2）（i）求證：以RT為直徑的圓過定點，并求出定點M的坐標；
（ii）求△RTM的面積最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F1、F2是橢圓C的左右焦點，點A，B為其左右頂點，

P為橢圓C上（異于A、B）的一動點，當P點坐標為（1， ）時，△PF1F2的面積為 ，

∴ = ，解得c=1，

又∵2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，b= ，

故橢圓C的方程為 ．

（2）證明：（i）由題意直線l的斜率存在，設直線l為：y=kx+m，

聯立 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=0，

化簡，得m2=3+4k2，

R（﹣2，﹣2k+m），T（2，2k+m），

由對稱性，知定點M在x軸上，

設M（x，0），M在RT為直線的圓上，∴MR⊥MT，

∴ =（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣2k+m）（2k+m）=x2﹣4+m2﹣4k2=0，

解得x=±1，

∴定點M即為左右焦點F1，F2，其坐標為（±1，0）．

解：（ii）由圖形的對稱性，不妨取M為右焦點F2（1，0），

點P在x軸上方，

S△RTM=S四邊形ABTR﹣S△BDA=2（m+k），

令m+k=t，則m=t﹣k，代入m2=3+4k2，

得3k2+2tk+3﹣t2=0，

△=4（4t2﹣9）≥0，

∵t＞0，∴t≥ ，S△RDA≥3，

當m=2，k=﹣ 時，取等號，

故△RTM的面積的最小值為3．

【解析】（1）由當P點坐標為（1， ）時，△PF1F2的面積為 ，求出c=1，2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出橢圓C的方程．（2）（i）設直線l為：y=kx+m，與橢圓聯立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判別式、橢圓對稱性，向量數量積，結合已知條件能證明以RT為直徑的圓過定點，并求出定點M的坐標．（ii）由圖形的對稱性，取M為右焦點F2（1，0），S△RTM=S四邊形ABTR﹣S△BDA=2（m+k），由此能求出△RTM的面積的最小值為3．