Question

設f(x)=x+

4

x

，
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在（0，2]和[2，+∞）的單調性，并用定義證明．

Answer 1

（1）由f(x)=x+

4

x

知，定義域為{x|x≠0}
顯然，定義域關于原點對稱．
f(-x)=-x+

4

-x

=-(x+

4

x

)=-f（x）
所以．f（x）為奇函數
（2）①任取x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2]
由題意，f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)
=（x₁-x₂）+4

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
因為x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2]
則x₁-x₂＜0；
0＜x₁x₂＜4，

4

x1x2

＞1，所以1-

4

x1x2

＜0
=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＞0
故f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，2]為上的減函數．
②任取x₁＜x₂且x₁，x₂∈[2，+∞）
由題意，f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)
=（x₁-x₂）+4

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
因為x₁＜x₂且x₁，x₂∈[2，+∞）
則x₁-x₂＜0；
x₁x₂＞4，0＜

4

x1x2

＜1，所以1-

4

x1x2

＞0
=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＜0
故f（x₁）＜f（x₂）
所以，f（x）在為[2，+∞）上的增函數．
∴f（x）在（0，2]上為減函數，[2，+∞）上為增函數．