Question

【題目】已知函數f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函數，當x＝1時，f(x)取得極值－2.

（1）求函數f(x)的解析式；

（2）求函數f(x)的單調區間和極大值；

（3）證明：對任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝x3－3x；（2）f(x)的遞增區間是(－∞，－1)和(1，＋∞)；遞減區間為(－1,1)．極大值為f(－1)＝2；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）分析已知條件，函數為奇函數，即，可得，“當x＝1時，f(x)取得極值－2”得，可解得；（2）由確定增區間，由得減區間，從而確定極值點；（3）要證題設命題，只要求出在上的最大值和最小值，證明最大值－最小值≤4即可，為此可由第（2）小題的結論很快求得．

試題解析：（1）∵f(x)是R上的奇函數，

∴f(－x)＝－f(x)，

即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d，

∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．

∴f(x)＝ax3＋cx，f ′(x)＝3ax2＋c，

又當x＝1時，f(x)取得極值－2，

∴，即解得

∴f(x)＝x3－3x.

（2）f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1，

當－1<x<1時，f ′(x)<0，函數f(x)單調遞減；

當x<－1或x>1時，f ′(x)>0，函數f(x)單調遞增；

∴函數f(x)的遞增區間是(－∞，－1)和(1，＋∞)；遞減區間為(－1,1)．

因此，f(x)在x＝－1處取得極大值，且極大值為f(－1)＝2.

（3）由(2)知，函數f(x)在區間[－1,1]上單調遞減，且f(x)在區間[－1,1]上的最大值為M＝f(－1)＝2.最小值為m＝f(1)＝－2.∴對任意x1、x2∈(－1,1)，

|f(x1)－f(x2)|<M－m＝4成立．

即對任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．