Question

（08年華師一附中二次壓軸）如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A為PB邊上一點，且PA=1，將ΔPAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD.

(Ⅰ)求證：平面PAD⊥面PCD；

(Ⅱ)試在PB上找一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分的體積之比為

V_PDCMA：V_MACB=2：1；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，判斷AM是否平行于平面PCD.

 

Answer 1

解析：(Ⅰ)證明：依題意知CD⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴CD⊥平面PAD

又DC平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD

(Ⅱ)解：∵，∴V_M－ABC=V_P－ABCD

設P、M到底面ABCD的距離分別為h、h_M，則

?(?S_ABCD)?h_M=?(?S_ABCD?h)

∴h_M=h，∴M為PB中點

(Ⅲ)∵AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD，∴AB∥平面PCD

若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，∴平面ABM∥平面PCD

這與平面ABM與平面PCD有公共點P矛盾

∴AM與平面PCD不平行.