Question

已知函數，.
（1）如果函數在上是單調減函數，求的取值范圍；
（2）是否存在實數，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）

試題分析：解：（1）當時，在上是單調增函數，不符合題意．…1分
當時，的對稱軸方程為，由于在上是單調增函數，不符合題意．
當時，函數在上是單調減函數， 則，解得，
綜上，的取值范圍是．             4分
（2）把方程整理為，
即為方程.                 5分
設 ，原方程在區間()內有且只有兩個不相等的實數根, 即為函數在區間()內有且只有兩個零點.   ……6分
 7分
令，因為，解得或（舍）   8分
當時, , 是減函數；
當時, ，是增函數.……10分
在()內有且只有兩個不相等的零點, 只需 13分
即 ∴
解得, 所以的取值范圍是() ． 14分
點評：解決的關鍵是通過導數的符號判定函數但典型，進而來解決方程根的問題，以及函數單調性的應用，屬于基礎題。