Question

【題目】已知函數(shù) （0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） = = ．

∵f（x）為偶函數(shù)，

∴對x∈R，f（﹣x）=f（x）恒成立，

∴ ．

即 ，

整理得 ．

∵ω＞0，且x∈R，所以 ．

又∵0＜φ＜π，故 ．

∴ ．

由題意得 ，所以ω=2．

故f（x）=2cos2x．

∴ ．

（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移 個單位后，得到 的圖象，再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到 的圖象．

∴ ．

當 （k∈Z），

即 （k∈Z）時，g（x）單調(diào)遞減，

因此g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 （k∈Z）．

【解析】（1）先用兩角和公式對函數(shù)f（x）的表達式化簡得到f（x）=2sin（ωx+φ），利用偶函數(shù)的性質(zhì)f（x）=f（-x）求得ω，進而得到f（x）的表達式，代入可得f（），（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移變換（左加右減）得到g（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出g（x）的單調(diào)區(qū)間.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用兩角和與差的正弦公式和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的正弦公式：；圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象．