Question

【題目】如圖，某景區是一個以為圓心，半徑為的圓形區域，道路，成角，且均和景區邊界相切，現要修一條與景區相切的觀光木棧道，點，分別在和上，修建的木棧道與道路，圍成的三角地塊.

（1）求修建的木棧道與道路，圍成的三角地塊面積的最小值；

（2）若景區中心與木棧道段連線的.

①將木棧道的長度表示為的函數，并指定定義域；

②求出木棧道的長度最小值.

Answer 1

【答案】（1）平方千米；（2）①；②.

【解析】

（1）利用，結合余弦定理，利用基本不等式，求得的最小值，即可求得結果；

（2）①根據角度關系，結合三角函數的應用，即可容易表示；

②由①中所求，結合均值不等式，即可容易求得最小值.

（1）設三角地帶面積為，，，，

三角形內切圓面積，又因為，

所以，

得，①

在中，由余弦定理得

，②

由①和②得，，

修建的木棧道與道路，圍成的三角地帶面積的最小值為平方千米.

（2）①設直線和圓相切點，，則，

，，，，

；

②

，

當且僅當時等號成立，

故木棧道的長度最小值為.