Question

【題目】已知定圓：，動圓過點，且和圓相切.

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線：與軌跡交于，兩點，線段的垂直平分線經過點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）圓的半徑，設動圓的半徑為由，從而圓內切于圓，根據，利用橢圓的定義可得，，從而求出橢圓的方程.

（Ⅱ）將直線與橢圓聯立消去得到， ，即，設，，利用韋達定理求出弦中點的坐標，線段的垂直平分線方程是，將點代入整理可得，代入即可求解.

（Ⅰ）圓的圓心為，半徑.

設動圓的半徑為，依題意有.

由，可知點在圓內，從而圓內切于圓，故，

即.

所以動點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓.

因為，，所以.

于是的方程是.

（Ⅱ）設，，聯立消去得到，

，即.

則，，

弦中點的坐標是.

由，得.

另一個方面，線段的垂直平分線方程是.

點在此直線上，

得到，整理得.

代入中，，.

又，，所以，.

故實數的取值范圍.