Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經過點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，直線l與橢圓相交于A，B兩個不同點．

(1)求實數m的取值范圍；
(2)證明：直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形．

Answer 1

（1）(－2,0)∪(0,2)（2）見解析

(1)設橢圓方程為 (a＞b＞0)，
由題意得∴
∴橢圓方程為＝1.
由題意可得直線l的方程為y＝x＋m(m≠0)，
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
則點A，B的坐標是方程組的兩組解，
消去y得x²＋2mx＋2m²－4＝0.
∵Δ＝4m²－4(2m²－4)＞0，∴－2＜m＜2.
又∵m≠0，∴實數m的取值范圍為(－2,0)∪(0,2)．
(2)證明：由題意可設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，
只需證明k₁＋k₂＝0即可，
由(1)得x²＋2mx＋2m²－4＝0，
∴x₁＋x₂＝－2m，x₁x₂＝2m²－4，
∵k₁＋k₂＝＝
＝??＝＝0， ?
∴直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形．