Question

（Ⅰ）已知圓O：x²+y²=4和點M（1，a），若實數a＞0且過點M有且只有一 條直線與圓O相切，求實數a的值，并求出切線方程；
（Ⅱ）過點（

2

，0）引直線l與曲線y=

1-x2

相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△ABO的面積取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由條件知點M（1，a）在圓0上求得a的值，求得OM的斜率k_OM=

3

，可得切線的斜率，再用點斜式求得切線方程．
（Ⅱ）化簡曲線方程，設直線l的斜率為k，則-1＜k＜0，直線l的方程即 kx-y-

2

k=0．求出圓心O到直線l的距離d的值，可得半弦長，求得三角形的面積解析式．令t=

1

k2+1

，則S△ABO=

-4t2+6t-2

，再利用二次函數的性質求得三角形的面積的最大值，以及此時k的值，從而求得直線l的方程．

解答：解：（I）由條件知點M（1，a）在圓0上，∴1+a²=4，∴a=±

3

．
又∵a＞0，∴a=

3

．
∴k_OM=

3

，故切線的斜率 k_切線=-

3

3

，
∴切線方程為y-

3

=-

3

3

(x-1)，即：

3

x+3y-4

3

=0．
（Ⅱ）由曲線y=

1-x2

，可得 x²+y²=1 （y≥0）．
設直線l的斜率為k，要保證直線l與曲線有2個交點，且與x軸不重合，則-1＜k＜0，
直線l的方程為 y-0=k（x-

2

），即 kx-y-

2

k=0．
圓心O到直線l的距離為d=

|0-0- 2 k|

k2+1

=

- 2 k

k2+1

，故半弦長為

1+( - 2 k k2+1 )2

=

1-k2 k2+1

，
∴S△ABO=

- 2 k

k2+1

•

1-k2 k2+1

=

2k2(1-k2) (k2+1)2

=

-2(k2+1)2+6(k2+1)-4 (k2+1)2

=

- 4 (k2+1)2 + 6 k2+1 -2

．
令t=

1

k2+1

，則S△ABO=

-4t2+6t-2

，
故當t=

3

4

，即

1

k2+1

=

3

4

時，S_△ABo取最大值為

1

2

，此時由

1

k2+1

=

3

4

，可得k=-

3

3

，
∴直線l的方程為：-

3

3

x-y+

6

3

=0，即

3

x+3y-

6

=0．

點評：考查直線與圓的方程的應用，點到直線的距離公式以及弦長公式的應用，著重考查分類討論思想與轉化思想，屬于難題．