Question

（本小題滿分14分）下圖是一個三角形數陣．從第二行起每一個數都等于它肩上兩個數的和，第行的第一個數為．

（Ⅰ）寫出與的遞推關系，并求；
（Ⅱ）求第行所有數的和；
（Ⅲ）求數陣中所有數的和；并證明：當時，．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）（，證明見解析。

（Ⅰ）由題意得，
，
由以上歸納可得：，               （2分）
∴，
∴數列是以為首項，以為公差的等差數列，
∴ ，∴．               （4分）
（Ⅱ）由數陣的排布規律可知，每行的數（倒數兩行另行考慮）都成等差數列，
且公差依次為：1，2， ，…，，…
第行的首項為，項數為，公差為
∴

           （7分）
當時，符合上式；
當時，由排布規律知，也符合上式；
∴．                   （8分）
（Ⅲ）

令                     （1）
       （2）
得
∴
∴（ （12分）
又
∴當時，
又
∴（當且僅當時取等號）．
∴當時,．                                              （14分）