Question

已知函數，其中ｅ是自然數的底數，．

（1）當時，解不等式；

（2）當時，求正整數ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；

（3）若在［－１，１］上是單調增函數，求的取值范圍．

Answer 1

⑴因為，所以不等式即為，

又因為，所以不等式可化為，

所以不等式的解集為．…………………………2分

⑵當時, 方程即為，由于，所以不是方程的解，

所以原方程等價于，令，

因為對于恒成立，

所以在內是單調增函數，……………………………4分[

又，， ，

所以方程有且只有1個實數根， 在區間 ，

所以整數的值為 1．……………………………………………6分

⑶，

①     當時，，在上恒成立，當且僅當時

取等號，故符合要求；………………………………………………………7分

②當時，令，因為，

所以有兩個不相等的實數根，，不妨設，

因此有極大值又有極小值．

若，因為，所以在內有極值點，

故在上不單調．………………………………………………………9分

若，可知，

因為的圖象開口向下，要使在上單調，因為，

必須滿足即所以.--------------------------11分

綜上可知，的取值范圍是．………………………………………12分