Question

某地區(qū)氣候條件惡劣，且位于沙漠邊緣地帶，到2011年底該地區(qū)的綠化率只有30%，計(jì)劃從2012年開(kāi)始加大沙漠化改造的力度，每年將原來(lái)沙漠面積的16%改造為綠洲，但同時(shí)原有綠洲面積的4%還會(huì)被沙漠化．
（1）設(shè)該地區(qū)的總面積為a，2011年底的綠洲面積為a1=

3

10

a，經(jīng)過(guò)一年治理后綠洲面積為a₂，…，經(jīng)過(guò)n年后綠洲面積為a_n+1，求證：an+1=

4

5

an+

4

25

；
（2）問(wèn)至少需要經(jīng)過(guò)多少的努力，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過(guò)60%？（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3）

Answer 1

分析：（1）經(jīng)過(guò)n年后綠洲面積由兩部分組成，一部分是原有的綠洲面積減去沙漠化后剩下的面積為96%a_n，另一部分是新綠洲化的面積16%b_n，由此可得結(jié)論；
（2）先確定a_n+1=

4

5

a-

1

2

a×(

4

5

)n，再建立不等式，即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：設(shè)2011年底沙漠面積為b₁，經(jīng)過(guò)n年沙漠面積為b_n+1，則a₁+b₁=a，
依題意，a_n+1由兩部分組成，一部分是原有的綠洲面積減去沙漠化后剩下的面積為96%a_n，另一部分是新綠洲化的面積16%b_n，
∴a_n+1=96%a_n+16%b_n=

4

5

a_n+

4

25

a；
（2）解：由（1）可知a_n+1-

4

5

a=

4

5

（a_n-

4

5

a）
∴{a_n-

4

5

a}是以-

1

2

a為首項(xiàng)，

4

5

為公比的等比數(shù)列
∴a_n+1=

4

5

a-

1

2

a×(

4

5

)n
依題意：

4

5

a-

1

2

a×(

4

5

)n＞60%a
∴(

4

5

)n＜

2

5

∴n＞

lg 2 5

lg 4 5

=

1-2lg2

1-3lg2

=4
∴至少需要5年才能達(dá)到目標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，考查解不等式，屬于中檔題．