Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程選講]
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為 （θ為參數），直線l的參數方程為 （t為參數）．（10分）
（1）若a=﹣1，求C與l的交點坐標；
（2）若C上的點到l距離的最大值為 ，求a．

Answer 1

【答案】
（1）

解：曲線C的參數方程為 （θ為參數），化為標準方程是： +y2=1；

a=﹣1時，直線l的參數方程化為一般方程是：x+4y﹣3=0；

聯立方程 ，

解得 或 ，

所以橢圓C和直線l的交點為（3，0）和（﹣ ， ）．

（2）

l的參數方程 （t為參數）化為一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，

橢圓C上的任一點P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），

所以點P到直線l的距離d為：

d= = ，φ滿足tanφ= ，

又d的最大值dmax= ，

所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值為17，

得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，

即a=﹣16或a=8．

【解析】（1.）將曲線C的參數方程化為標準方程，直線l的參數方程化為一般方程，聯立兩方程可以求得交點坐標；
（2.）曲線C上的點可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），運用點到直線距離公式可以表示出P到直線l的距離，再結合距離最大值為 進行分析，可以求出a的值．
【考點精析】通過靈活運用三角函數的最值，掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，即可以解答此題．