Question

已知雙曲線C與橢圓9x²+25y²=225有相同的焦點(diǎn)，且離心率e=2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若P為雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為其焦點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)，橢圓9x2+25y2=225 可化為 

x2

25

+

y2

9

=1，由此能求出求雙曲線方程．
（2）由已知條件先求出2|PF₁|•|PF₂|=48，由此能求出△PF₁F₂的面積．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)
橢圓9x2+25y2=225 可化為 

x2

25

+

y2

9

=1
∴c=

25-9

=4
∵e=

c

a

=2∴a=2
∴b²=c²-a²=16-4=12
∴所求雙曲線方程為 

x2

4

-

y2

12

=1（6分）
（2）由已知得

|PF1|-|PF2 =4                    ① |PF1| 2+|PF2| 2=|F1F2| 2=64   ②

，
②-①²得2|PF₁|•|PF₂|=48
∴|PF₁|•|PF₂|=24
∴S△PF1F2=

1

2

|PF1| • |PF2| =12（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是雙曲線的知識(shí)體系不牢固．